Polinomios

Paolo Ruffini 

1765: Nace en Valentano, Estados Pontificios (hoy Italia), el 22 de septiembre.

1783: Inicia sus estudios de matemáticas, medicina y literatura en la Universidad de Modena. Entre sus profesores se destacan Luigi Fantini (geometría) y Paolo Cassiani (cálculo).

1788: El 9 de junio se gradúa en filosofía, medicina y cirugía. Un poco más tarde se gradúa en matemáticas.

1791: Es nombrado profesor de Elementos de Matemáticas en la Universidad de Modena. Se le concede la licencia para practicar la medicina. 

Para mayor información visitar:  Biografía de Paolo Ruffini

Ahora veamos un método que nos dejó Ruffini para encontrar el valor numérico de un polinomio, el resto y cociente en un tipo de divisiones especiales y localizar las raíces de un polinomio.

  
Método de Ruffini

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Actividades:

1- Realizar las divisiones que están propuestas al final de la presentación, determinando sus cocientes y restos.
2- Dividir  P(x)=20x³-17x-5x²  por  Q(x)=4x-5
 

¿Se puede dividir el polinomio P(x)=20x³-17x-5x²  por  Q(x)=4x-5 utilizando el Método de Ruffini?

Si se puede efectuar esta división utilizando el Métdo de Ruffini.

Si realizaste bien la división de la Actividad número 2 anterior, obtuviste que el cociente es
C(x)= 5x²+5x+2  y que el resto es R(x)=10

Veamos ahora como se realiza la división pero utilizando el Método de Ruffini:

Primero ordenamos y completamos el polinomio P(x):

P(x)= 20x³-5x²-17x+0 

Luego igualando el binomio Q(x) a cero y despejando el valor de la variable obtenemos:

4x-5=0 por lo tanto x=5/4

Aplicando Ruffini resulta:

Como podemos observar el cociente es 20x²+20x+8 y el resto 10

Finalmente para obtener el mismo cociente que al realizar la división por el método tradicional ( C(x)= 5x²+5x+2), debemos dividir los coeficientes del polinomio cociente obtenido en el paso anterior (20x²+20x+8), entre el coeficiente principal del polinomio divisor, es decir 4, de la siguiente manera:

Por lo tanto el cociente de dividir P(x) en Q(x) es C(x)= 5x²+5x+2 y el resto R(x)= 10

Conclusión :

El Método o Regla de Ruffini se emplea para dividir polinomios enteros de una variable de cualquier grado, entre un divisor binomio de primer grado no sólo de la forma (x+b) sino que también de la forma (ax+b) o transformable a una de éstas.

Actividades:

1- Dividir el polinomio P(x) por el polinomio Q(x) aplicando la Regla de Ruffini, determinar el cociente y el resto de dichas divisiones:

a) P(x)=6x³+4x²-2x-1     y     Q(x)=4x+4

b) P(x)=3x⁷+3x⁵-3x³-x    y     Q(x)=3x-3

c)  P(x)=x⁴-x⁵                       y       Q(x)=x/5-1

2- Hallar el polinomio P(x) tal que:
a) P(x): (x+a)=x³-ax²+a²x-a³
b) (x⁵-32):P(x)=x⁴+2x³+4x²+8x+16

Teorema del Resto

(Extraído de http://es.scribd.com/doc/15978795/Division-Polinomios  )

El Teorema del Resto nos permite calcular P(a) calculando el resto o viceversa.

Sugerencia: Puedes ver el siguiente video que explica como obtener el resto o residuo de una división aplicando el Teorema del Resto: http://youtu.be/Pv-HtVEHoSI

Actividades:

1- Hallar el resto de las siguientes divisiones:

a) (x⁵ − 2x² − 3) : (x −1)

b) (4x⁴ − 4x³ + 6x² + 6x +20 ) : (2x + 4)

2- Indicar cuáles de estas divisiones son exactas:

a) (x³ − 5x − 1) : (x − 3)

b) (x⁶ − 1) : (x + 1)

c) (x⁴ − 2x³ + x² + x − 1) : (x − 1)

d) (x¹⁰ − 1024) : (x + 2)

( Extraído de http://www.ditutor.com/polinomios/teorema_resto.html)

3- Calcular el valor de k sabiendo que P(x)=3x⁴+kx²-x+1 y que el resto de dividir P(x) por (x-2) es 67.

4- Dados P(x)=x³+x²-4ax-16 y Q(x)=x+1, hallar el valor de a, donde a es un número real, para que el resto de dividir P(x) por Q(x)  sea igual a cero.

5- Encontrar los valores de a y b, números reales, sabiendo que al dividir P(x)=5x⁴+ax²-bx-16 por (x+2) da un resto de 96 y que P(2)=56

6- Marcar la opción correcta y justificar la respuesta: 

a) Al dividir F(x)=3x⁵-4x³+5x-12 por (x+2) el resto es 

         0         85          86          -85            ninguna

b) El valor que debe tomar a, perteneciente a los números reales, para que (x-1/2) divida a (-14x⁴+17x³+ax²+3/4x-4)  es:

         0         19/2        17/2      -17/2         ninguna 

Raíces de un Polinomio

Definición:

Un número a se dice raíz del polinomio P(x) sii P(a)=0.

Por lo tanto las raíces de un polinomio P(x) son las soluciones de la ecuación P(x)=0

Ejemplos:

1° Caso: Polinomios de Primer grado de la forma x-a   o   x+a

P(x)=x + 2

Como las raíces de un polinomio P(x) son las soluciones de la ecuación P(x)=0, entonces igualamos el polinomio a cero, es decir:

x + 2=0        y   despejamos x.
Luego     x=-2

Por lo tanto P(x) posee una raíz Real que es -2.

2° Caso: Polinomios de segundo grado


Incompletos 

• De la forma    ax²

P(x)= 4x²

Como las raíces de un polinomio P(x) son las soluciones de la ecuación P(x)=0, entonces igualamos el polinomio a cero, es decir:

4x²=0        y   despejamos x.

Luego     x=0

Por lo tanto la raíz de P(x) es 0 y es una raíz Real Doble.

• De la forma    x² −c

P(x)=x² − 4

Como las raíces de un polinomio P(x) son las soluciones de la ecuación P(x)=0, entonces igualamos el polinomio a cero, es decir:

x² − 4=0        y   despejamos x.
Luego     x=-4       y        x= +4 .
Por lo tanto las raíces de P(x) son 4 y -4.

• De la forma    x² + c

P(x)=x² + 4

En este caso el polinomio no posee raíces Reales.

• De la forma    x² + bx    o     x² + bx

P(x)=x² − 4x

Como las raíces de un polinomio P(x) son las soluciones de la ecuación P(x)=0, entonces igualamos el polinomio a cero, es decir:

x² − 4x =0     sacamos factor común x, de la siguiente manera  x(x-4)=0 
Luego     x=0       y        x= +4 .
Por lo tanto las raíces de P(x) son 0 y 4.

Completos de la forma  ax² + bx + c


a) P(x)= x² - x - 6

Como las raíces de un polinomio P(x) son las soluciones de la ecuación P(x)=0, entonces igualamos el polinomio a cero, es decir:

x² -x - 6 =0      y  utilizamos la siguiente fórmula llamada  Fórmula de Bhaskara   

donde a es el coeficiente principal del Polinomio, b el coeficiente lineal y c el término independiente. 

Es decir: a=1     ,     b= -1      y     c= -6



Reemplazando en la Fórmula obtenemos que  x=-2  y  x= 3
Por lo tanto P(x) posee dos raíces Reales que son   -2  y  3.


 b) P(x)= x² + 2x + 4

Como las raíces de un polinomio P(x) son las soluciones de la ecuación P(x)=0, entonces igualamos el polinomio a cero, es decir:

x² + 4x + 4=0      y  utilizamos la siguiente fórmula llamada Fórmula de Bhaskara   

donde a es el coeficiente principal del Polinomio, b el coeficiente lineal y c el término independiente.



Reemplazando en la Fórmula obtenemos que x= 2
Por lo tanto la raíz de P(x) es 2 y es una raíz doble. 

 Polinomios de Grado mayor que dos

El polinomio P(x) se puede descomponer en factores de primer y segundo grado, entonces basta igualar a cero cada uno de los factores y resolver las ecuaciones de primer grado y de segundo grado resultantes.

P(x) = 2x⁴ + x³ − 8x² − x + 6  

Como las raíces de un polinomio P(x) son las soluciones de la ecuación P(x)=0, entonces igualamos el polinomio a cero, es decir:

2x⁴ + x³ − 8x² − x + 6 = 0 

Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.

P(x) = 2x⁴ + x³ − 8x² − x + 6

Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.

Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

P(1) = 2 · 1⁴ + 1³ − 8 · 1² − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0

Dividimos por Ruffini.

 

Por ser la división exacta, D = d · c

(x −1) · (2x³ + 3x² − 5x − 6) = 0

Una raíz es x = 1 .

Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.

Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.

P(1) = 2 · 1³ + 3 · 1² − 5x − 6≠ 0

P(− 1) = 2 · (− 1)³ + 3 · (− 1)² − 5 · (− 1) − 6= −2 + 3 + 5 − 6 = 0

(x −1) · (x +1) · (2x² +x −6) = 0

Otra raíz es x = -1 .

A los otros factores los podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado.

 

Las raíces son: x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2.

 Actividades:

1- Teniendo en cuenta los ejemplos anteriores completa:

• Las raíces de un polinomio P(x) son las soluciones de la ecuación........................

• El número de raíces de un polinomio es siempre ........................... que el grado del polinomio.

• Podemos decir también que las raíces enteras de un polinomio de coeficientes enteros serán divisores del ...............................................

• Todo polinomio que no tenga término independiente admitirá como raíz x=..............

2- Encontrar las raíces de los siguientes polinomios de grado menor o igual a dos.

3- Encontrar las raíces de los siguientes polinomios de grado mayor que dos.

 

4- Dados lo polinomios P(x)=x⁵+ax⁴+3x²-8x   y Q(x)= x³-6x+b hallar a y b, pertennecientes a los reales, de tal forma que -1 sea raíz de P(x) y Q(x).

5- Calcular k para que:

a) P(x)=x⁸-kx⁴+1  tenga por raíz a x=-1

b) P(x)=(-kx+4)² tenga por raíz a x=k

c) P(x)= x⁴-3x³+kx sea divisible por x+2

d) P(x)= x⁴-3x²+1 sea divisible por x-k

6- Determinar si:

a) 2 es raíz de P(x)= 2x²-x²-1

b) a es raíz de P(x)= x⁴-a²x²+x+a

Resumiendo:
Ruffini, Teorema del Resto y Raíces de un polinomio